Ejercitando neuronas

Ejercitando las neuronas XI. Soluciones

Nada mejor para una mañana o una tarde de domingo que ejercitar las neuronas desde nuestro sofá. Hoy, para acabar la semana, ofrecemos cinco retos que darán mucho juego…¡A por ellos!

1.- Tablero de ajedrez

Es un tablero que da mucho juego. El que ahora les propongo ha de salir sin dificultad si es que se han trabajado los desafíos anteriores. Precisamente esta es una de las estrategias de la resolución de problemas: ir acumulando en el disco duro que todos tenemos esas formas de resolver situaciones que luego se repiten iguales o parecidas.

La actividad consiste en contar todos los cuadrados que se pueden ver en un tablero de ajedrez. Sean ordenados…Solución:

Cuadrados de 1×1: 64
Cuadrados de 2×2: 49
Cuadrados de 3×3: 36
Cuadrados de 4×4: 25
Cuadrados de 5×5: 16
Cuadrados de 6×6: 9
Cuadrados de 7×7: 4
Cuadrados de 8×8: 1
Total: 204 cuadrados
Como se puede observar, se tiene una regla para para hacer ese mismo conteo en tableros de 9×9, 10×10,…

2.- ¡Ah, sí! La mayor toca el piano…

Dos compañeros de bachillerato se ven después de tantos años. Hablan de muchas cosas y entre ellas de esto:

– Oye, ¿te casaste?
– Sí, y tengo tres preciosas hijas.
– ¡Qué bien! ¿Qué edades tienen?
– Pues como supongo que no has perdido tu afición a los acertijos matemáticos, te diré que sus edades multiplicadas dan 36 y la suma es igual al número de la casa que está enfrente, ¿lo ves?
– ¡Ya! Pero con esos datos no tengo suficiente.
– ¡Ah, sí! La mayor toca el piano.
– Ahora sí, ya sé.

¿Y usted lo sabe? Pues a pensar…

Solución:

Obviamente, si el producto de las edades es 36 habrá que tener delante todas las ternas de números naturales cuyo producto sea igual a 36:

Son estas: (1,1,36) (1,2,18) (1,3,12) (1,4, 9) (1,6,6) (2,2,9), (2,3,6) (3,3,4)
Ahora hemos de sumar los tres números de las ternas y se obtienen, en el mismo orden: 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, 10

El amigo está viendo el número de la casa de enfrente y entonces ¿por qué le dice que no tiene datos suficientes? Pues porque el número que está viendo es el 13 y que es el único que se repite… (1,6,6) y (2, 2,9).

Al aclararle que la mayor toca el piano, se llega a la conclusión de que las tres niñas tienen 2, 2 y 9 años… Claro que también le podría haber dicho: Las dos pequeñas son gemelas…

3.- Errores

A veces, a los que relatamos cuentos se nos escapan errores, debido, más que nada, a la ignorancia y la falta de estudios. A ver quién detecta los deslizados en este relato corto:

Pues sí, por fin los Reyes Católicos recibieron a Cristóbal Colón para que les contase su proyecto. Le invitaron a comer un rico pescado a la portuguesa al que los cocineros pusieron una especial salsa de tomates. Cuando Colón acabó su relato, la reina le dijo que tenía para financiarlo porque, justo el día anterior, le había llegado un tesoro encontrado en Itálica, cerca de Sevilla, que contenía un buen número de monedas de oro, que los sabios sabían que son de la época de César Augusto porque todas tienen en el reverso la inscripción: anno 12 A.C.

La velada terminó con un melodioso concierto de piano y con la firma de los compromisos que adquirían para llevar a cabo la famosa hazaña.

Solución:

Difícilmente podrían añadir salsa de un producto que vino de América… Por mucho poder que tuvo César Augusto, no era suficiente como para saber que Jesucristo nació durante su mandato… y, desde luego, el piano como lo conocemos hoy, parece que nació a principios del siglo XVIII…

4.- Para pagar la pensión

Una chica consiguió un buen trabajo en la ciudad y no se lo pensó dos veces. Aceptó las condiciones y tras firmarlas se fue en busca de pensión. Una de las condiciones del trabajo le estipula que cobrará cada siete días así que le dijo al dueño de la pensión que le pagaría cada semana, a lo que éste le contestó que lo sentía pero cada día había que pagarlo por adelantado. Pero la chica tenía recursos y le propuso lo siguiente:
– Mire, tengo esta cadena de oro que, como ve, tiene 7 eslabones. Yo le doy uno cada día y, cuando le pague, me los devuelve. ¿De acuerdo?

Y así cerraron el acuerdo.

La chica, además, se dio cuenta de que no necesita separar todos los eslabones. ¡Qué espabilada es! ¿Cómo lo hizo?

Solución:

En efecto, basta con que suelte el tercer eslabón empezando por uno de los extremos. De esta forma tiene un eslabón, un trozo con dos eslabones y otro con cuatro eslabones. Ya deduce cómo actuó: el primer día le dio el eslabón suelto, al día siguiente se lo pidió y le entregó el trozo de dos eslabones y así pudo cumplir con el posadero hasta que le pagó y le devolvió los eslabones.

5.- Rectángulo áureo

El palacio de Nava es uno de los edificios más notables de la ciudad de La laguna. La fachada que da a la plaza del Adelantado es de una singular belleza, entre otras cosas, porque es de basalto, una roca volcánica. Como puede observarse, a ambos lados de la fachada hay un curioso almohadillado cuyos rectángulos no fueron diseñados al azar sino que tienen la proporción áurea.

Se trata de una proporción muy utilizada en el arte desde hace mucho tiempo y que tiene una afectación notable en nuestra cultura. Vamos a construir el rectángulo que tiene esa proporción y ya daremos pautas para detectarlo en nuestro entorno.


Para hacerlo con rigor, prepare un papel, preferiblemente una hoja de papel cuadriculado, y un compás. Las pautas a seguir son las que le esquematizamos a continuación:

1.- Dibuje un cuadrado de, por ejemplo, 16 cuadraditos de lado.


2.- Marque el punto medio de la base de ese cuadrado (está en el cuadrado 8).


3.- En el punto que acaba de marcar, pinche el compás y lleve el lápiz a la esquina superior derecha.


4.- Ahora baje el punto anterior hasta que corte a la prolongación del lado para, finalmente…
5.- …cerrar en la forma que se señala y tener así construido el famoso rectángulo áureo.

La palabra usada para denominarlo ya da a entender la importancia que se le ha dado, pues oro, en latín, es aurum y de ahí que se pueda hablar del rectángulo de oro. El siguiente paso es determinar cuál es el valor de la proporción áurea, es decir, si se divide la medida del largo del rectángulo entre el ancho, ¿qué valor tiene? Mediante una aplicación no muy complicada del teorema de Pitágoras, se tiene que ese número, llamado también número áureo, y algunos un poco más exaltados lo llaman divina proporción, se representa por la letra griega phi y es:

Es un número con interesantes propiedades que pueden buscarse en Internet pues hay muchísimos trabajos. ¿Cómo se sabe si un rectángulo que tenemos delante es o no áureo? Una forma consiste en medir el largo y el ancho, dividirlos y comprobar que el resultado es 1,6 o, al menos, muy próximo a ese número.

Pero hay otra forma que conocemos como test de Paula, que permite la comprobación sin necesidad de medir. Consiste en lo siguiente: debo tener en mis manos un rectángulo que sepa que es áureo. Puede servir el que hemos hecho o utilizar el DNI o una tarjeta de crédito o similares. Para testar un rectángulo que no sabemos si lo es o no, colocamos el que tenemos en nuestras manos entre nuestro ojo y el rectángulo incógnita. Si comprobamos la coincidencia de ambos, ¡es áureo! Y si no, pues ya sabemos que no lo es.

Lo que debe hacer ahora es tratar de estudiar si tiene en su casa rectángulos de este tipo: ventanas, libros, adornos rectangulares, folios, etc. También hay un test para saber si un cuerpo tiene la proporción áurea. Prepare un metro y una calculadora. Mida su estatura y la distancia que hay del ombligo al suelo. Si al dividirlos da próximo a 1,61 pues ya sabe: tiene un cuerpo áureo. No se desanime si no lo tiene, pues la belleza es subjetiva.

Solución:

Ya conocemos el rectángulo áureo o de oro y la trascendencia que ha tenido en la historia, especialmente, en el mundo del arte. Pues bien, vamos a introducir el rectángulo argénteo o de plata que nos conducirá al número de plata al que se le representa por la letra delta minúscula δ y cuyo valor obtendremos.
Es una proporción conocida desde la antigüedad pero no tuvo tanta fortuna como la de oro. En edificios modernistas, mediante el test de Paula, hemos encontrado rectángulos de plata en puertas de edificios.
La construcción del rectángulo la esquematizamos mediante los siguientes pasos. Prepare un compás:

1.-Se dibuja un cuadrado y prolongamos la base.

2.-Marcamos la diagonal y tomamos el compás.

3.-Pinchamos el compás en el vértice inferior de la derecha, de donde parte la diagonal y se traza el arco hasta cortar a la prolongación del lado.

4.-Ya está construido el rectángulo de plata. El valor de δ se obtiene calculando el valor de la diagonal trazada que, como se ve en la figura, es igual a raíz cuadrada de 2.
Se tiene, por tanto:
δ = 2, 4142135623730…

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